Trigonometria

A Trigonometria é o estudo da Matemática responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos triângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º que possuem valores constantes representados pelas relações seno, cosseno e tangente.

A trigonometria, que relaciona as medidas dos lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos, é de grande utilidade na medição de distâncias inacessíveis ao ser humano, como a altura de montanhas, torres e árvores, ou a largura de rios e lagos. Por esse motivo, a Trigonometria foi considerada em sua origem, como uma extensão da Geometria.

Exemplos:

A distância de quarenta metros, de uma torre é vista sob um ângulo de vinte graus, como mostra a figura. Determine a altura h da torre :

Resposta: A Torre tem 14 metros e 40 centímetro. 

No desenho a baixo, a altura do poste está representada por h. Calcule o valorde h, em metros. 

Resposta: O poste tem 3 metros e quarenta e oito centimetro.

Função seno

Dado um ângulo de medida x, a função seno é a relação que associa a cada x em R, o seno do ângulo x, denotado pelo número real sen(x). A função é denotada por f(x)=sen(x) ou y=sen(x).
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2].

x	0	/4	/2	3 /4		5/4	3/2	7/4	2
y	0	½	1	½	0	-½	-1	-½	0

Gráfico: Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção do segmento OM sobre o eixo OY.

• Domínio: A função seno está definida para todos os valores reais, sendo assim Dom(sen)=R.

• Imagem: O conjunto imagem da função seno é o intervalo I={y em R: -1<y<1}
• Periodicidade: A função é periódica de período 2. Para todo x em R e para todo k em Z:
  
  sen(x) = sen(x+2) = sen(x+4) =...= sen(x+2k)
  
  
  Justificativa: Pela fórmula do seno da soma de dois arcos, temos
  
  
  sen(x+2k) = sen(x)cos(2k ) + cos(x)sen(2k )
  para k em Z, cos(2k )=1 e sen(2k )=0
  
  
  en(x+2k) = sen(x)(1)+cos(x)(0) = sen(x)
  
  
  A função seno é periódica de período fundamental T=2.
  
  
  Completamos o gráfico da função seno, repetindo os valores da tabela em cada intervalo de medida 2.

• Sinal:

Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
Função seno	positiva	positiva	negativa	negativa

• Monotonicidade:

Intervalo	[0,/2]	[/2,]	[,3/2]	[3/2,2]
Função seno	crescente	decrescente	decrescente	crescente

• Limitação: O gráfico de y=sen(x) está inteiramentecontido na faixa do plano situada entre asretas horizontais y=-1 e y=1. Para todo x real temos:

-1 < sen(x) < 1

• Simetria: A função seno é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:

sen(-x) = -sen(x)

Com a ajuda do programa de montar planilhas, na função seno montamos os seguintes graficos para analisarmos.

 

Atividades.

Atribua para A sucessivamente, os seguintes valores 2, 3 e 4.  Observe as alterações da função do grafico. (vamos substituir na tabelinha de coeficiente, A pelos valores mensionado)

 

Podemos observar que a alteração aconteceu na f(x), em que a variação foi de -3 a 5 e que o intervalo se manteve.